Mathematik

Kochrezept: Ableiten, Integrieren, Gauß

1. 1. Ableiten: erst die Regel finden

   Schau zuerst, wie die Funktion gebaut ist. Eine Summe leitest du gliedweise ab. Ein Produkt zweier Funktionen braucht die Produktregel, ein Bruch die Quotientenregel. Steckt eine Funktion in einer anderen, etwa e^3x oder √(2x + 1), kommt die Kettenregel dazu: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

   Regel	Funktion	Ableitung
   Potenzregel	xn	n · xn−1
   Faktor und Summe	c · f + g	c · f' + g'
   Produktregel	u · v	u' · v + u · v'
   Quotientenregel	u/v	(u' · v − u · v')/v2
   Kettenregel	f(g(x))	f'(g(x)) · g'(x)
   e-Funktion	eax	a · eax
   Logarithmus	ln(x)	1/x
   Wurzel	√x = x1/2	1/(2√x)

2. 2. Extrem- und Wendepunkte

   Setz f'(x) = 0 und löse nach x. Dann entscheidet das Vorzeichen von f'': kleiner 0 ist ein Hochpunkt, größer 0 ein Tiefpunkt. Den y-Wert rechnest du immer mit f aus, nicht mit f'. Wendepunkte findest du genauso mit f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0.

   Tangente: t(x) = f'(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

3. 3. Integrieren: Stammfunktion, dann Grenzen

   Bilde die Stammfunktion F mit der Tabelle. Beim bestimmten Integral setzt du die obere Grenze ein und ziehst den Wert an der unteren Grenze ab. Die Konstante C brauchst du nur, wenn eine Bedingung wie F(1) = 4 gegeben ist.

   Typ	Funktion	Stammfunktion
   Potenz (n ≠ −1)	xn	xn+1/(n + 1)
   Kehrwert	1/x	ln|x|
   e-Funktion	eax	(1/a) · eax
   Linear innen	(ax + b)n	(ax + b)n+1/(a · (n + 1))
   Ableitung durch Funktion	g'(x)/g(x)	ln|g(x)|

   ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)Partielle Integration: ∫ u · v' dx = u · v − ∫ u' · v dx

   Substitution hilft, wenn die innere Ableitung als Faktor dasteht, etwa 2x · e^x². Partielle Integration hilft bei Produkten wie x · e^x: u ist der Teil, der beim Ableiten einfacher wird.

4. 4. Flächen: an Nullstellen teilen

   Ein Integral zählt Flächen unter der x-Achse negativ. Für einen Flächeninhalt suchst du deshalb zuerst alle Nullstellen im Intervall, integrierst jedes Stück einzeln und addierst die Beträge. Zwischen zwei Kurven integrierst du die Differenz f − g von Schnittstelle zu Schnittstelle.

   A = |∫_a^x₁ f(x) dx| + |∫_x₁^b f(x) dx|x₁ ist die Nullstelle im Intervall [a; b].

5. 5. Gauß-Verfahren: Stufenform, dann rückwärts

   Schreib das LGS als erweiterte Matrix. Mit der ersten Zeile machst du unter dem ersten Eintrag alles zu 0, mit der zweiten Zeile unter dem zweiten. Steht oben links eine 0, tauschst du vorher die Zeilen. Aus der letzten Zeile liest du z ab und setzt von unten nach oben ein.

   (A | b) =

   12−1223111−1127

   IIIIII

   ⇒

   12−120−137001030

   Schritte: II − 2 · I, III + I, dann III + 3 · II. Rückwärts: 10z = 30, also z = 3. Dann −y + 9 = 7, also y = 2. Zuletzt x + 4 − 3 = 2, also x = 1.

   Ergebnis	Rang (n Unbekannte)	Stufenform
   genau eine Lösung	rang(A) = rang(A | b) = n	keine Nullzeile
   unendlich viele	rang(A) = rang(A | b) < n	Nullzeile 0 = 0
   keine Lösung	rang(A) < rang(A | b)	Zeile 0 = Zahl ≠ 0

Lehrstühle schreiben manches anders, etwa f_x oder ∂f/∂x für partielle Ableitungen und E oder I für die Einheitsmatrix. Die Rechenwege sind dieselben. In der Klausur zählt die Schreibweise deines Skripts.