LGS und Matrizen

Gauß-Verfahren, Determinanten, Rang und Lösbarkeit, dazu Matrixrechnung und das Leontief-Modell aus der Wirtschaftsmathematik.

Musteraufgaben mit Lösung: LGS und Matrizen

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Gauß-Verfahren

Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.

I: x − y + 2z = −5
II: y − 2z = 2
III: 2x − 4y + 9z = −14

(A | b) =

1−12−501−222−49−14

Nach der Elimination

Stufenform:

1−12−501−220010

Ergebnis

x: −3
y: 2
z: 0

Lösungsweg

Neue Zeile III = III − 2 · I
III: −2y + 5z = −4
Neue Zeile III = III + 2 · II
III: z = 0
Aus III: z ausrechnen
⇒ z = 0
In II einsetzen (z = 0)
y = 2
⇒ y = 2
In I einsetzen
x − 2 = −5
⇒ x = −3

Worauf du achten musst

Ziel ist die Stufenform: unten links nur Nullen. Dann rechnest du von unten nach oben zurück.
Probe: Setz x, y und z in eine Gleichung ein, die du nicht zum Rückwärtsrechnen benutzt hast.

Schwer

Beispiel 2: Determinante mit Parameter

Für welche Werte des Parameters a ist die Matrix A nicht invertierbar? Gib beide Werte an.

A =

−11a020a3−1

Ergebnis

Kleinerer Wert a₁: −1
Größerer Wert a₂: 1

Lösungsweg

Nicht invertierbar heißt det(A) = 0. Sarrus mit a
det(A) = (−1) · 2 · (−1) + 1 · 0 · a + a · 0 · 3 − a · 2 · a − (−1) · 0 · 3 − 1 · 0 · (−1)
Zusammenfassen
det(A) = −2a² + 2
Durch −2 teilen, dann pq-Formel
a² − 1 = 0 ⇒ a = 0 ± √(1)
⇒ a₁ = −1, a₂ = 1

Worauf du achten musst

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist. Für alle anderen a ist A invertierbar.

Kochrezept Mathematik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1