Ableitungen und Extrema

Ableitungsregeln, Extrem- und Wendepunkte, Tangenten und die Klassiker der Wirtschaftsmathematik: Grenzkosten, Gewinnmaximum, Elastizität.

Musteraufgaben mit Lösung: Ableitungen und Extrema

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Quotientenregel

Gegeben ist f(x) = 5x/(x² + 2).

Berechne f'(−1). Runde auf drei Nachkommastellen.

Ergebnis

f'(−1): 0,556

Lösungsweg

Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v − u · v')/v²
u = 5x, u' = 5; v = x² + 2, v' = 2x
Einsetzen und Zähler zusammenfassen
f'(x) = (5 · (x² + 2) − 5x · 2x)/(x² + 2)² = (−5x² + 10)/(x² + 2)²
x₀ = −1 einsetzen
f'(−1) = 5/9
⇒ f'(−1) ≈ 0,556

Worauf du achten musst

Merksatz: NAZ minus ZAN durch N². Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners.
Den Nenner (x² + 2)² nicht ausmultiplizieren. So bleibt das Einsetzen einfach.

Schwer

Beispiel 2: Kostenelastizität

Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K(x) = 2x² + 4x + 100 (x in ME, K in GE).

Berechne die Elastizität der Kosten bei x = 3 ME und ordne sie ein.

Ergebnis

Elastizität ε bei x = 3: 0,37
Die Kosten reagieren: unelastisch (|ε| < 1)

Lösungsweg

Ableitung von K
K'(x) = 4x + 4
Elastizität: ε = K'(x) · x/K(x)
K(3) = 130; K'(3) = 16; ε = 16 · 3/130
⇒ ε ≈ 0,37
Einordnen nach dem Betrag
|ε| = 0,37 ist kleiner als 1, also unelastisch. Steigt x um 1 %, steigen die Kosten um etwa 0,37 %.

Worauf du achten musst

Die Elastizität misst relative Änderungen: Prozent zu Prozent. Für die Einordnung zählt der Betrag.

Kochrezept Mathematik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1