Kochrezept: Marktgleichgewicht und Mengensteuer in fünf Schritten
1. Beide Kurven in Preisform bringen
Nachfrage p = a − b·x, Angebot p = c + d·x. Steht eine Kurve als Menge da, etwa x = 50 − 0,5p, stellst du zuerst nach p um.
2. Gleichsetzen und p* einsetzen
Im Gleichgewicht sind angebotene und nachgefragte Menge gleich. Setz beide Preise gleich, löse nach x auf und setz das Ergebnis in eine der beiden Funktionen ein. Probe: Die andere Funktion liefert denselben Preis.
a − b·x = c + d·x ⇒ x* = (a − c) / (b + d)
3. Renten als Dreiecke
Die Konsumentenrente ist das Dreieck unter der Nachfrage und über p*, die Produzentenrente das Dreieck über dem Angebot und unter p*. Fläche: ½ · Grundseite · Höhe.
4. Mengensteuer: Angebot um t nach oben schieben
Eine Steuer t pro Stück bei den Anbietern macht aus dem Angebot p = c + t + d·x. Mit der Nachfrage gleichsetzen ergibt die neue Menge xt. Den Käuferpreis pK liest du auf der Nachfrage ab, der Verkäuferpreis ist pV = pK − t.
5. Aufkommen, Wohlfahrtsverlust, Traglast
Der Staat bekommt t mal die neue Menge. Verloren geht das Dreieck zwischen xt und x*. Die Käufer tragen pK − p*, die Verkäufer p* − pV: Die steilere Kurve trägt mehr.
| Größe | Formel |
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| Gleichgewichtsmenge | x* = (a − c) / (b + d) |
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| Konsumentenrente | KR = ½ · (a − p*) · x* |
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| Produzentenrente | PR = ½ · (p* − c) · x* |
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| Steueraufkommen | T = t · xt |
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| Wohlfahrtsverlust | WV = ½ · t · (x* − xt) |
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Beispiel: Nachfrage p = 100 − 2x, Angebot p = 20 + 2x. Dann ist x* = 20 und p* = 60. Mit t = 8 wird 100 − 2x = 28 + 2x, also xt = 18, pK = 64, pV = 56. Aufkommen T = 8 · 18 = 144, Wohlfahrtsverlust WV = ½ · 8 · 2 = 8.
Höchstpreis: Er wirkt nur, wenn er unter p* liegt. Dann wird nur so viel gehandelt, wie die Anbieter zu diesem Preis liefern. Die Differenz zur Nachfrage ist die Überschussnachfrage.
Elastizitäten
Eine Elastizität sagt, um wie viel Prozent sich die Menge ändert, wenn sich der Preis (oder das Einkommen) um ein Prozent ändert.
Preiselastizität der Nachfrage
ε = dx/dp · p/x bei x = a − b·p: ε = −b · p/x
Das Vorzeichen ist negativ, weil die Menge sinkt, wenn der Preis steigt. Eingeordnet wird nach dem Betrag:
| Betrag | Nachfrage | Umsatz |
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| |ε| > 1 | elastisch | Preiserhöhung senkt den Umsatz |
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| |ε| < 1 | unelastisch | Preiserhöhung steigert den Umsatz |
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| |ε| = 1 | einheitselastisch | Umsatz ist maximal |
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Bei einer linearen Nachfrage ist die obere Hälfte elastisch, die untere unelastisch. Genau in der Mitte, bei p = a / (2b), ist der Umsatz am größten.
Bogenelastizität mit der Mittelpunktmethode
Hast du nur zwei Punkte, beziehst du die Änderungen auf die Mittelwerte. So kommt dasselbe heraus, egal ob der Preis steigt oder sinkt.
ε = (Δx / x̄) / (Δp / p̄) = (Δx · p̄) / (Δp · x̄)
Kreuzpreis- und Einkommenselastizität
ε = ∂xA/∂pB · pB/xAgrößer 0: Substitute, kleiner 0: Komplemente, gleich 0: unabhängig
ε = dx/dm · m/xkleiner 0: inferior, zwischen 0 und 1: normal (Grundbedarf), größer 1: Luxusgut
Haushaltsoptimum mit Cobb-Douglas
Der Haushalt gibt sein Budget m für zwei Güter aus. Er kann sich alles auf der Budgetgeraden leisten und sucht dort die höchste Indifferenzkurve.
px · x + py · y = m
Optimum: GRS gleich Preisverhältnis
Im Optimum berührt die Indifferenzkurve die Budgetgerade. Die Lagrange-Methode führt auf dieselbe Bedingung.
|GRS| = GNx / GNy = px / py
Für U = xα · yβ ist GRS = α·y / (β·x). Daraus folgt die Abkürzung: Der Haushalt gibt immer denselben Anteil seines Budgets für jedes Gut aus.
x* = α/(α+β) · m/pxundy* = β/(α+β) · m/py
Beispiel: U = x · y², m = 120 €, px = 2 €, py = 4 €. Dann ist x* = 1/3 · 120/2 = 20 und y* = 2/3 · 120/4 = 20. Probe: 2 · 20 + 4 · 20 = 120.
Slutsky-Zerlegung einer Preisänderung
Ändert sich px, trennst du zwei Effekte. Zuerst kompensierst du das Budget so, dass das alte Bündel gerade noch bezahlbar ist. Das Optimum mit neuem Preis und kompensiertem Budget heißt xkomp.
m' = m + Δpx · xaltSE = xkomp − xaltundEE = xneu − xkomp
Der Substitutionseffekt wirkt immer gegen die Preisänderung. Bei einem normalen Gut zeigt der Einkommenseffekt in dieselbe Richtung. Zusammen ergeben sie den Gesamteffekt.
Lehrstühle schreiben manches unterschiedlich: die Preiselastizität mal mit Betrag, die GRS mal mit Minus als Steigung. Hier gilt: Preiselastizität mit Vorzeichen, GRS als Betrag. In der Klausur zählt dein Skript.