Kochrezept: Hypothesentest in fünf Schritten
1. Hypothesen aufstellen
Was du zeigen willst, kommt in die Alternative H1. Die Nullhypothese H0 ist das Gegenteil und enthält immer das Gleichheitszeichen. Die Wörter der Aufgabe verraten die Seite:
| Frage | H0 | H1 | Test |
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| „weicht ab“, „unterscheidet sich“ | μ = μ₀ | μ ≠ μ₀ | zweiseitig |
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| „größer“, „mehr“, „gestiegen“ | μ ≤ μ₀ | μ > μ₀ | rechtsseitig |
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| „kleiner“, „weniger“, „gesunken“ | μ ≥ μ₀ | μ < μ₀ | linksseitig |
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2. Testgröße berechnen
Die Testgröße misst, wie weit der Stichprobenwert vom Wert unter H0 entfernt ist, in Standardfehlern. Für einen Mittelwert:
σ bekannt: z = (x̄ − μ0) / (σ / √n) · σ unbekannt: t = (x̄ − μ0) / (s / √n)
3. Kritischer Wert aus der Tabelle
Zweiseitig teilst du α auf beide Seiten und nimmst das Quantil 1 − α/2. Einseitig liegt das ganze α auf einer Seite, also 1 − α. Beim t-Test brauchst du zusätzlich die Freiheitsgrade.
z0,975 = 1,96 · z0,95 = 1,645 · z0,995 = 2,576 · t9; 0,975 = 2,262
4. Entscheidung
Liegt die Testgröße im Ablehnbereich, lehnst du H0 ab. Mit dem kritischen Wert c heißt das: zweiseitig |T| > c, rechtsseitig T > c, linksseitig T < −c. Beim χ²-Test wird nur bei großen Werten abgelehnt.
5. Interpretation
Schreib einen Antwortsatz in Worten: „Zum Niveau 5 % ist die mittlere Füllmenge signifikant kleiner als 500 ml.“ Wichtig: H0 nicht ablehnen heißt nicht, dass H0 stimmt. Die Daten reichen nur nicht für einen Nachweis.
Welcher Test passt?
Stell dir drei Fragen in dieser Reihenfolge. Erstens: Messwerte mit Mittelwert, ein ja/nein-Merkmal oder Kategorien? Zweitens: eine Stichprobe gegen einen festen Wert, zwei unabhängige Gruppen oder Paare? Drittens, bei Mittelwerten: Ist σ bekannt oder nur durch s geschätzt?
| Daten | Situation | Test | Testgröße |
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| Messwerte | eine Stichprobe gegen μ₀, σ bekannt | Gauß-Test | z, Normalverteilung |
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| Messwerte | eine Stichprobe gegen μ₀, σ unbekannt | Einstichproben-t-Test | t, df = n − 1 |
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| Messwerte | zwei unabhängige Gruppen | Zweistichproben-t-Test | t, df = n₁ + n₂ − 2 |
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| Messwerte | Paare: dieselben Einheiten zweimal gemessen | t-Test für verbundene Stichproben | t auf den Differenzen, df = n − 1 |
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| ja / nein | ein Anteil gegen p₀ | Test für einen Anteil (Binomialtest) | z, Näherung für großes n |
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| Kategorien | ein Merkmal gegen eine vorgegebene Verteilung | χ²-Anpassungstest | χ², df = k − 1 − m |
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| Kategorien | zwei Merkmale in einer Kreuztabelle | χ²-Unabhängigkeitstest | χ², df = (r − 1)(c − 1) |
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Typische Falle: „Vorher und nachher“, „Zwillinge“, „beide Reifen am selben Auto“ oder „zwei Prüfer bewerten dieselben Arbeiten“ sind Paare, auch wenn das Wort „verbunden“ fehlt. Und eine Standardabweichung aus der eigenen Stichprobe ist s, nicht σ.
Kennzahlen und Konfidenzintervalle
Stichprobenvarianz
Für die Stichprobenvarianz teilst du durch n − 1, nicht durch n. Die Standardabweichung s ist die Wurzel daraus. Median und Spannweite liest du aus der sortierten Liste ab.
s² = Σ (xi − x̄)² / (n − 1)
Intervall für den Erwartungswert μ
Schätzer plus und minus Quantil mal Standardfehler. Ist σ bekannt, nimmst du z, sonst t mit n − 1 Freiheitsgraden.
σ bekannt: x̄ ± z1−α/2 · σ / √n
σ unbekannt: x̄ ± tn−1; 1−α/2 · s / √n
Intervall für einen Anteil
Mit p̂ = k / n und der Faustregel n · p̂ · (1 − p̂) > 9 für die Normalnäherung:
p̂ ± z1−α/2 · √(p̂ (1 − p̂) / n)
Mindeststichprobenumfang
Soll die halbe Breite höchstens e sein, löst du nach n auf und rundest immer auf. Ohne Vorwissen über den Anteil rechnest du mit p = 0,5. Achtung: Die ganze Breite ist 2e.
n ≥ (z · σ / e)² · n ≥ z² · p (1 − p) / e²
Lehrstühle schreiben Quantile unterschiedlich, etwa z0,975, u0,975 oder Φ⁻¹(0,975). In den Übungsrunden steht z(0,975) und t(9; 0,975): das 0,975-Quantil der Normalverteilung bzw. der t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden. In der Klausur zählt die Schreibweise deines Skripts.