Integrale berechnen

Stammfunktionen, bestimmte Integrale und Flächen, dazu Substitution, partielle Integration und die Renten aus der Wirtschaftsmathematik.

Musteraufgaben mit Lösung: Integrale

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Bestimmtes Integral

Berechne das bestimmte Integral

∫₋₁² (3x² + x − 5) dx.

Ergebnis

∫₋₁² f(x) dx: −4,5

Lösungsweg

Stammfunktion: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/(n + 1)
F(x) = x³ + 0,5x² − 5x
Obere Grenze einsetzen
F(2) = 2³ + 0,5 · 2² − 5 · 2
⇒ F(2) = 0
Untere Grenze einsetzen
F(−1) = (−1)³ + 0,5 · (−1)² − 5 · (−1)
⇒ F(−1) = 4,5
Hauptsatz: F(b) − F(a)
0 − 4,5
⇒ −4,5

Worauf du achten musst

Beim bestimmten Integral fällt die Konstante C weg. Rechne F(b) und F(a) getrennt aus, dann passieren weniger Vorzeichenfehler.

Schwer

Beispiel 2: Partielle Integration mit ln

Berechne ∫₁³ x · ln(x) dx. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Ergebnis

Wert des Integrals: 2,94

Lösungsweg

Hier umgekehrt: u = ln(x) wird beim Ableiten einfacher
u = ln(x), u' = 1/x; v' = x, v = 0,5x²
Einsetzen
∫ … dx = 0,5x² · ln(x) − ∫ 0,5x dx = 0,5x² · ln(x) − 0,25x²
Grenzen einsetzen, ln(1) = 0
(0,5 · 3² · ln(3) − 0,25 · 3²) − (0 − 0,25)
⇒ ≈ 2,944

Worauf du achten musst

ln(x) kannst du schlecht integrieren, aber gut ableiten. Darum ist ln(x) hier u und nicht v'.

Kochrezept Mathematik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1