Haushaltsoptimum

Cobb-Douglas-Nutzen, Budgetgerade, GRS gleich Preisverhältnis. Dazu Preis- und Einkommensänderungen und die Slutsky-Zerlegung in Substitutions- und Einkommenseffekt.

Musteraufgaben mit Lösung: Haushaltsoptimum

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Haushaltsoptimum

Luca gibt ein Budget von m = 36 € für Kaffee (Gut x) und Croissants (Gut y) aus. Die Preise sind p_x = 1,50 € und p_y = 6 €. Die Nutzenfunktion lautet U(x, y) = x² · y².

Wie viele Einheiten von x und y kauft Luca im Nutzenmaximum?

Ergebnis

Optimale Menge x*: 12 ME
Optimale Menge y*: 3 ME

Lösungsweg

Grenznutzen (partielle Ableitungen)
GN_x = ∂U/∂x = 2x · y², GN_y = ∂U/∂y = 2x² · y
Optimum: GRS = Preisverhältnis (Lagrange führt auf dieselbe Bedingung)
Im Optimum berührt die Indifferenzkurve die Budgetgerade. Mit L = U(x, y) + λ(m − p_x·x − p_y·y) und ∂L/∂x = ∂L/∂y = 0 folgt dieselbe Gleichung.
GRS = GN_x / GN_y = (2x · y²) / (2x² · y) = y / x = p_x / p_y = 1,5 / 6
Umstellen: Ausgaben für y im Verhältnis zu den Ausgaben für x
p_y · y = p_x · x ⇒ 6y = 1,5x
In die Budgetgerade einsetzen
1,5x + 1,5x = 36 ⇔ 2 · 1,5x = 36
⇒ x* = 12 ME
y* aus der Budgetgeraden
6y = 36 − 1,5 · 12 = 18
⇒ y* = 3 ME
Abkürzung für Cobb-Douglas: feste Budgetanteile
x* = α/(α+β) · m/p_x = 2/4 · 36/1,5 = 12, y* = β/(α+β) · m/p_y = 2/4 · 36/6 = 3

Worauf du achten musst

Cobb-Douglas-Abkürzung: Der Haushalt gibt immer den Anteil α/(α+β) seines Budgets für x aus und β/(α+β) für y. Damit bist du in der Klausur in einer Zeile fertig.
Probe: Das Optimum liegt auf der Budgetgeraden. Die Ausgaben für x und y ergeben zusammen genau das Budget.

Schwer

Beispiel 2: Grenzrate der Substitution

Ben gibt ein Budget von m = 57 € für Mangos (Gut x) und Avocados (Gut y) aus. Die Preise sind p_x = 0,50 € und p_y = 1 €. Die Nutzenfunktion lautet U(x, y) = x · y².

Im Moment kauft Ben das Bündel B = (38 | 38), also 38 Einheiten x und 38 Einheiten y. Das Budget ist damit genau ausgeschöpft.

Berechne die Grenzrate der Substitution in B. Wie sollte Ben umschichten, und wie viel x kauft Ben im Optimum?

Ergebnis

|GRS| im Bündel B: 0,5
Um den Nutzen zu erhöhen, sollte Ben: beim Bündel bleiben, es ist schon optimal
Optimale Menge x*: 38 ME

Lösungsweg

Grenznutzen (partielle Ableitungen)
GN_x = ∂U/∂x = y², GN_y = ∂U/∂y = 2x · y
GRS allgemein
|GRS| = GN_x / GN_y = (y²) / (2x · y) = y / (2x)
GRS im Bündel B einsetzen
|GRS| = 1 · 38 / (2 · 38)
⇒ |GRS| = 0,5
Preisverhältnis
p_x / p_y = 0,5 / 1 = 0,5
GRS mit dem Preisverhältnis vergleichen
|GRS| = Preisverhältnis: Das Bündel ist schon das Optimum.
Optimum mit der Cobb-Douglas-Abkürzung
x* = α/(α+β) · m/p_x = 1/3 · 57/0,5
⇒ x* = 38 ME

Worauf du achten musst

Die GRS steht hier als Betrag: |GRS| = GN von x geteilt durch GN von y. Manche Skripte schreiben sie mit Minus, als Steigung der Indifferenzkurve.
Merksatz: Ist die GRS größer als das Preisverhältnis, kauf mehr x. Ist sie kleiner, kauf mehr y.

Kochrezept Mikroökonomie Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1