Kennzahlen und Konfidenzintervalle

Von Mittelwert und Varianz einer kleinen Stichprobe bis zum Intervall für μ oder einen Anteil. Varianzen immer mit n − 1.

Musteraufgaben mit Lösung: Kennzahlen und Konfidenzintervalle

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Kennzahlen einer Stichprobe

Der Benzinverbrauch von 10 Autos eines Modells in Litern pro 100 km:

6,3; 5,8; 7,3; 8,0; 6,8; 8,0; 6,2; 6,2; 6,7; 5,7

Berechne das arithmetische Mittel und die Stichprobenvarianz s². Teile bei s² durch n − 1.

Ergebnis

Arithmetisches Mittel x̄: 6,7 l
Stichprobenvarianz s² (mit n − 1): 0,691 l²

Lösungsweg

Erst sortieren
5,7; 5,8; 6,2; 6,2; 6,3; 6,7; 6,8; 7,3; 8,0; 8,0
Arithmetisches Mittel: Summe durch n
x̄ = 67 / 10
⇒ x̄ = 6,7 l
Abweichungen vom Mittelwert und ihre Quadrate
x_i − x̄: −0,4; −0,9; 0,6; 1,3; 0,1; 1,3; −0,5; −0,5; 0; −1
⇒ Σ(x_i − x̄)² = 6,22
Stichprobenvarianz: durch n − 1 teilen
s² = 6,22 / 9
⇒ s² = 0,6911 l²

Worauf du achten musst

Median und Spannweite immer aus der sortierten Liste ablesen.
Durch n − 1 statt n teilen: Die Stichprobenvarianz schätzt die Varianz der Grundgesamtheit dann ohne Verzerrung.

Schwer

Beispiel 2: Konfidenzintervall für μ (σ unbekannt)

Ein Obsthof wiegt Äpfel einer neuen Sorte. Eine Stichprobe von n = 15 Äpfeln ergibt den Mittelwert x̄ = 167,5 g und die Stichprobenstandardabweichung s = 16,5 g. Das Merkmal ist normalverteilt, σ ist unbekannt.

Bestimme das 99 %-Konfidenzintervall für das mittlere Gewicht μ.

Ergebnis

Quantil aus der Tabelle (z oder t): 2,977
Untere Grenze: 154,82 g
Obere Grenze: 180,18 g

Lösungsweg

σ ist unbekannt: t-Verteilung mit df = n − 1 = 14
x̄ ± t · s / √n
Quantil: Konfidenzniveau 99 %, also 1 − α/2 = 0,995
t(14; 0,995)
⇒ 2,977
Halbe Intervallbreite
e = 2,977 · 16,5 / √15
⇒ e = 12,6829 g
Grenzen
167,5 − 12,6829 und 167,5 + 12,6829
⇒ [154,82; 180,18] g

Worauf du achten musst

σ unbekannt und durch s geschätzt: t-Quantil mit n − 1 Freiheitsgraden. Es ist größer als das z-Quantil, das Intervall wird breiter.
Deutung: Bei vielen Wiederholungen überdecken etwa 99 % der so berechneten Intervalle den wahren Wert μ.

Kochrezept Statistik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1