Hypothesentest rechnen

Prüfgröße berechnen, kritischen Wert aus der Tabelle holen, entscheiden. Kritische Werte gibst du als Betrag ein, zum Beispiel 1,96.

Musteraufgaben mit Lösung: Hypothesentest

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Gauß-Test, zweiseitig

Ein Versandhändler verspricht eine mittlere Lieferzeit von μ₀ = 3 Tagen. Eine Stichprobe von n = 64 Bestellungen ergibt den Mittelwert x̄ = 3,12 Tage. Die Standardabweichung ist aus Erfahrung bekannt: σ = 1,5 Tage.

Teste zweiseitig zum Signifikanzniveau α = 5 %, ob die mittlere Lieferzeit von 3 Tagen abweicht.

Ergebnis

Prüfgröße z: 0,64
Kritischer Wert z_krit (Betrag): 1,96
Entscheidung: H₀ nicht ablehnen

Lösungsweg

Hypothesen
H₀: μ = 3 gegen H₁: μ ≠ 3
Standardfehler
σ / √n = 1,5 / √64
⇒ 0,1875 Tage
Prüfgröße
z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n) = (3,12 − 3) / 0,1875
⇒ z = 0,64
Kritischer Wert (zweiseitig, α = 5 %)
1 − α/2 = 0,975 ⇒ z(0,975)
⇒ z_krit = 1,96
Entscheidung
Ablehnen, wenn |z| > 1,96
|z| = 0,64 ≤ 1,96
⇒ H₀ nicht ablehnen
Antwortsatz
Zum Signifikanzniveau 5 % kann H₀ nicht abgelehnt werden. Die Daten reichen nicht aus, um H₁: μ ≠ 3 zu zeigen. Bewiesen ist H₀ damit nicht.

Worauf du achten musst

Zweiseitig heißt: α wird auf beide Seiten verteilt, deshalb das 0,975-Quantil und nicht das 0,95-Quantil.
Nicht ablehnen heißt nicht annehmen: Die Daten widersprechen H₀ nur nicht deutlich genug.

Schwer

Beispiel 2: Einstichproben-t-Test

Für einen Reaktionstest gilt der Normwert μ₀ = 240 ms. Eine Forscherin testet Personen nach einer durchwachten Nacht. Eine Stichprobe von n = 21 Personen liefert den Mittelwert x̄ = 223,2 ms und die Stichprobenstandardabweichung s = 32,3 ms. Das Merkmal ist normalverteilt, σ ist unbekannt.

Teste zum Signifikanzniveau α = 5 %, ob die mittlere Reaktionszeit nach Schlafentzug unter 240 ms liegt.

Ergebnis

Prüfgröße t: −2,38
Kritischer Wert t_krit (Betrag): 1,725
Entscheidung: H₀ ablehnen

Lösungsweg

Hypothesen (linksseitig)
Was gezeigt werden soll, kommt in H₁. H₀ enthält das Gleichheitszeichen.
H₀: μ ≥ 240 gegen H₁: μ < 240
Prüfgröße
t = (x̄ − μ₀) / (s / √n) = (223,2 − 240) / (32,3 / √21) = −16,8 / 7,0484
⇒ t = −2,38
Kritischer Wert
df = n − 1 = 20; 1 − α = 0,95 ⇒ t(20; 0,95)
⇒ t_krit = 1,725
Entscheidung
Ablehnen, wenn t < −1,725
t = −2,38 < −1,725
⇒ H₀ ablehnen
Antwortsatz
Zum Signifikanzniveau 5 % wird H₀ abgelehnt. Die Daten sprechen signifikant für H₁: μ < 240.

Worauf du achten musst

σ unbekannt, durch s geschätzt: t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden statt Normalverteilung.
Einseitig: das ganze α auf einer Seite, also Quantil 1 − α.

Kochrezept Statistik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1