Schnittgrößen

Querkraft Q und Biegemoment M am geraden Träger. Positive Schnittgrößen am positiven Schnittufer, positives M macht Zug unten. Kräfte in kN, Momente in kNm.

Musteraufgaben mit Lösung: Schnittgrößen

So sehen die Aufgaben in dieser Übung aus. Jede Runde hat zehn neue Aufgaben: fünf auf Basis-Niveau, drei schwere und zwei extra schwere, so gemischt wie in der Klausur. Rechne die Beispiele zuerst selbst und vergleiche dann jeden Schritt.

Basis

Beispiel 1: Einfeldträger mit Streckenlast

Der Einfeldträger (Länge 5,0 m) ist in A fest und in B verschieblich gelagert. Lasten: Streckenlast q = 2 kN/m auf der ganzen Länge; F = 16 kN bei x = 3,0 m. x zählt vom linken Ende nach rechts.

Bestimme Querkraft Q und Biegemoment M an der Stelle x = 1,5 m.

Q positiv nach oben, M positiv nach unten (Zug unten, gestrichelte Faser).

Ergebnis

Querkraft Q(x = 1,5 m): 8,4 kN
Biegemoment M(x = 1,5 m): 14,85 kNm

Lösungsweg

Lagerkräfte: Momente um A
ΣM_A = B_v · 5,0 m − 2 kN/m · 5,0 m · 2,5 m − 16 kN · 3,0 m = 0
⇒ B_v = 14,6 kN
Lagerkräfte: Kräfte vertikal
ΣF_v = A_v + B_v − 2 kN/m · 5,0 m − 16 kN = 0
⇒ A_v = 11,4 kN
Schnitt bei x = 1,5 m (linkes Teil von 0 bis 1,5 m, Q = Summe der Kräfte nach oben)
Q = 11,4 kN − 2 kN/m · 1,5 m
⇒ Q = 8,4 kN
Biegemoment (linkes Teil von 0 bis 1,5 m, Momente um die Schnittstelle)
M = 11,4 kN · 1,5 m − 2 kN/m · 1,5 m · 0,75 m
⇒ M = 14,85 kNm

Worauf du achten musst

Vorzeichen: Positive Schnittgrößen zeigen am positiven Schnittufer (Normale nach +x) nach unten (Q) und erzeugen Zug an der Unterseite (M, gestrichelte Faser unten). Im Bild ist Q positiv nach oben und M positiv nach unten aufgetragen.
Schneide den Träger und nimm das Teil mit weniger Kräften. Beide Teile geben dasselbe Ergebnis.

Schwer

Beispiel 2: Größtes Moment bei Einzellasten

Der Einfeldträger (Länge 8,0 m) ist in A fest und in B verschieblich gelagert. Lasten: F₁ = 6 kN bei x = 3,5 m; F₂ = 6 kN bei x = 6,5 m. x zählt vom linken Ende nach rechts.

Wie groß ist das größte Biegemoment M_max und an welcher Stelle tritt es auf? Wie verlaufen Q und M zwischen x = 3,5 m und x = 6,5 m?

Q positiv nach oben, M positiv nach unten (Zug unten, gestrichelte Faser).

Ergebnis

Größtes Biegemoment M_max: 15,75 kNm
Stelle x von M_max: 3,5 m
Verlauf von Q zwischen x = 3,5 m und x = 6,5 m: konstant
Verlauf von M zwischen x = 3,5 m und x = 6,5 m: linear

Lösungsweg

Lagerkräfte: Momente um A
ΣM_A = B_v · 8,0 m − 6 kN · 3,5 m − 6 kN · 6,5 m = 0
⇒ B_v = 7,5 kN
Lagerkräfte: Kräfte vertikal
ΣF_v = A_v + B_v − 6 kN − 6 kN = 0
⇒ A_v = 4,5 kN
Querkraftverlauf von links nach rechts
0,0 bis 3,5 m: Q = 4,5 kN; 3,5 bis 6,5 m: Q = −1,5 kN; 6,5 bis 8,0 m: Q = −7,5 kN.
Wo ist M am größten?
Q springt bei x = 3,5 m von 4,5 kN auf −1,5 kN, wechselt dort also das Vorzeichen. Weil dM/dx = Q gilt, hat M dort sein Maximum.
⇒ x = 3,5 m
Moment bei x = 3,5 m (linkes Teil von 0 bis 3,5 m, Momente um die Schnittstelle)
M_max = 4,5 kN · 3,5 m
⇒ M_max = 15,75 kNm
Verlauf zwischen x = 3,5 m und x = 6,5 m
In diesem Bereich wirkt keine Streckenlast: Q ist konstant, M ändert sich linear.
⇒ Q konstant, M linear

Worauf du achten musst

Vorzeichen: Positive Schnittgrößen zeigen am positiven Schnittufer (Normale nach +x) nach unten (Q) und erzeugen Zug an der Unterseite (M, gestrichelte Faser unten). Im Bild ist Q positiv nach oben und M positiv nach unten aufgetragen.
M hat sein Maximum dort, wo Q das Vorzeichen wechselt. Ohne Streckenlast: Q konstant, M linear. Mit Gleichstreckenlast: Q linear, M quadratisch.

Kochrezept Technische Mechanik Unter Prüfungsbedingungen: Probeklausur 1